Компьютер как новая реальность математики: V. Легкая проблема Варинга
Аннотация
В этой статье продолжается обсуждение роли компьютера в современных исследованиях по аддитивной теории чисел, в первую очередь по легкой проблеме Варинга. Эта проблема состоит в нахождении для каждого натурального k минимального s =v(k) такого, что все натуральные числа n могут быть представлены как суммы k-х степеней целых чисел n = ± x1k ± ... ± xsk в количестве s штук со знаками. Как оказалось, эта задача намного сложнее исходной проблемы Варинга и теснейшим образом связана с несколькими другими задачами арифметической и диофантовой геометрии. В статье обсуждаются различные аспекты этой классической задачи и нескольких близких проблем — рациональной проблемы Варинга, проблемы Варинга для конечных полей, проблемы Варинга для других числовых колец, проблемы Варинга для многочленов, с особым акцентом на связь с полиномиальными тождествами и роль компьютеров. К настоящему времени решение этих проблем близко не завершено и предоставляет широчайшие возможности для использования этого материала в образовании и самостоятельного эксперимента, в том числе на уровне бытовых компьютеров.
Литература
N. A. Vavilov, “Computers as novel mathematical reality. I. Personal Account,” Computer tools in education, no. 2, pp. 5–26, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-2-5–26
N. A. Vavilov, “Computers as novel mathematical reality. II. Waring Problem,” Computer tools in education, no. 3, pp. 5–55, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-3-5-55
N. A. Vavilov, “Computers as novel mathematical reality. III. Mersenne numbers and divisor sums,” Computer tools in education, no. 4, pp. 5–58, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-4-5-58
N. A. Vavilov, “Computers as novel mathematical reality. IV. Goldbach Problem” Computer tools in education, no. 4, pp. 5–71, 2021 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2021-4-5-71
N. A. Vavilov, V. G. Khalin, and A. V. Yurkov, Mathematica dlya nematematika [Mathematica for nonmathematician], Moscow: MCCME, 2021 (in Russian).
A. S. Verebrussov, “Sur l’equation x 3 + y 3 + z 3 = 2u 3 ,” Mat. Sb., vol. 26, no. 4, pp. 622–624, 1908 (in Russian).
S. V. Volkov, Generalitet Rossiiskoi Imperii: entsiklopedicheskii slovar’ generalov i admiralov ot Petra I do Nikolaya II., vol. 1, vol. 2., Moscow: Tsentropoligraf, 2009 (in Russian).
S. S. Demidov, “K istorii teorii lineinykh differentsial’nykh uravnenii,” Istoriko-matematicheskie Issledovaniya,
vol. 28, pp. 78–98, 1985 (in Russian).
V. A. Demjanenko, “On equation x 3 + y 3 + z 3 − t 3 = 1,” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., no. 5, p. 57, 1965 (in
Russian).
Материал публикуется под лицензией:
