О разрешимости и специальных решениях параметрических уравнений Пелля
Аннотация
В работе исследовалось семейство решений параметрических уравнений Пелля второго порядка общего вида: x2−mx y +y2 = B, гдеm и B — некоторые параметры. Найден оптимальный алгоритм решения подобных уравнений как альтернатива традиционному методу. Предложенный метод позволяет не только решать уравнения подобного вида при конкретных значениях параметров m и B, но и исследовать некоторые уравнения данного класса на разрешимость в целом. В частном случае уравнений специального вида выявлены последовательности натуральных чисел — параметров уравнения, при которых оно тотально неразрешимо.
Литература
N. N. Osipov and A. A. Kytmanov, “Algorithm for solving a family of fourth-degree Diophantine equations satisfying the Runge condition,” Programming, no. 1, pp. 39–44, 2021 (in Russian).
N. N. Osipov, “Runge’s method for fourth-degree equations: elementary approach,” Matem. prosv., no. 19, pp. 178–198, 2015 (in Russian).
N. N. Osipov and B. V. Gulnova, “An Algorithmic Implementation of Runge’s Method for Cubic Diophantine Equations,” Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 11(2), pp. 137–147, 2018 (in Russian); doi:10.17516/1997-1397-2018-11-2-137-147
V. G. Sprindzhuk, Classical Diophantine equations in two unknowns, Moscow: Nauka, 1982 (in Russian).
D. W. Masser, Auxiliary Polynomials in Number Theory, Cambridge, England: Cambridge University Press, 2016.
V. O. Bugaenko, Pell’s equations, Moscow: MCCME publ., 2001 (in Russian).
N. N. Osipov and B. V. Gulnova, “Software module for solving cubic Diophantine equations satisfying the Runge condition,” State registration of the computer program (Registration number (certificate): 2016663115), 2016.
T. Andreescu and D. Andrica, Quadratic diophantine equations, New York: Springer, 2015.
Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory, 3rd ed., Moscow: Nauka, 1985 (in Russian).
I. G. Bashmakova and E. I. Slavutin, History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat, Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).
A. Spivak, “Pell’s Equations,” Quantum, no. 4, pp. 5–11, 2002 (in Russian).
N. Orlov and N. Osipov, “Positive integers k such that the parametric Pell-type equation x2 −mx y + y2 = −m2 −k has no integer solutions (x, y) for all integers m Ê 1, excluding the cases k ≡ 1(mod 4), k ≡ 3(mod 9), and k ≡ 6(mod 9),” in oeis.org, 2024. [Online]. Availble: https://oeis.org/A371957
N. Orlov and N. Osipov, “Positive integers k ≡ 2(mod4) such that the parametric Pell-type equation x2−mx y+y2 =m2+k has no integer solutions (x, y) for all integerm Ê 1,” in oeis.org, 2024. [Online]. Availble: https://oeis.org/A370721
Материал публикуется под лицензией:
