О методах исследования динамических систем

Наталья Борисовна Ампилова; Игорь Павлович Соловьев; Андрей Андреевич Кадомский

doi:10.32603/2071-2340-2024-1-5-25

Наталья Борисовна Ампилова Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия
Игорь Павлович Соловьев Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Старый Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия
Андрей Андреевич Кадомский Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Старый Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия

DOI: https://doi.org/10.32603/2071-2340-2024-1-5-25

Ключевые слова: динамические системы, символическая динамика, символический образ, спектр Морса, инвариантные меры, стационарный поток на графе, метод Такенса, вероятностные цепочки

Аннотация

Широкое применение динамическихсистем привело к созданию достаточно большого числа различных методов их исследования, как аналитических так и компьютерно-ориентированных. В данной работе мы рассмотрим ряд методов, основанных на идеях символической динамики, а также остановимся на применении динамических систем для решения задач идентификации и прогноза.

Представление динамики системы с помощью ориентированного графа, построенного по системе и конечному разбиению фазового пространства даоет взможность сопоставить траекториям системы пути на графе. С помощью такого представления решаются задачи построения приближений к инвариантным множествам, спектру Морса, и аппроксимации инвариантных мер.

Применение динамических систем в задачах идентификации рассматриваетсяна примерах вероятностных цепочек, позволяющих моделировать распределение различных социально-экономических ресурсов, и метода нелинейной динамики для восстановления аттрактора системы по временному ряду.

Биографии авторов

Наталья Борисовна Ампилова, Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия

канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра информатики, Математико-механический факультет, n.ampilova@spbu.ru

Игорь Павлович Соловьев, Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Старый Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия

канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра информатики, Математико-механический факультет, soloviev@math.spbu.ru

Андрей Андреевич Кадомский, Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., д. 28, Старый Петергоф, 198504, Санкт-Петербург, Россия

аспирант, кафедра информатики, Математико-механический факультет, СПбГУ

Литература

Hsu C.S. Cell-to-cell mapping.A method of global analysis for nonlinear systems, New-York:Springer-Verlag, 1987.

Dellnitz M.,Hohmann A. A subdivision algorithm for the computation of unstable man ifolds and global attractors,Num.Math.1997,Vol.75,p.293-317.направлены

Dellnitz M., Junge O. An adaptive subdivision technique for the approximation of attractors and invariant measures, Comput.Visual. Sci.,1998,Vol.1,p.63-68.

Осипенко Г.С. О символическом образе динамической системы, Граничные задачи, Пермь, 1983, с. 101-105.

F. Colonius, and W. Kliemann. The Dynamics of Control. Birkhauser, 2000

Осипенко Г.С., Ампилова Н.Б., Введение в символический анализ динамических систем, СПб, Изд. СПбГУ, 2005.

Osipenko G.S. Spectrum of a Dynamical System and AppliedSymbolic Dynamics, Journal of Mathematical Analysis and Applications, v.252, no.2,2000, p.587-616.

И. В. Романовский, Оптимизация стационарного управления дискретным детерминированным процессом динамического программирования. Ленинград: Кибернетика, 1967, №2, с. 71-83.

G.S.Osipenko,J.V.Romanovsky,N.B.Ampilova,E.I.Petrenko. ComputationoftheMorsespectrum. Journal of Mathematical Sciences, v. 120, no. 2 March 2004,p.1155-1166.www.ingentaconnect.com/content/klu/joth/2004/00000120/00000002/00484193

АмпиловаН.Б., ПетренкоЕ.И. Обоценкеэнтропиисимволическогообразадинамическойсистемы. Вестник СПб Университета, сер.10, вып.3, 2008, с. 3-11.

Брэгман, Л. М. Доказательство сходимости метода Г.В. Шелейховского для задачи с транспортными ограничениями. Журнал вычислительной математики и математической физики. Ленинград, 1967. Т. 7, №1, с.147-156.

Брэгман, Л. М. Релаксационный метод нахождения общей точки выпуклых множеств и его применение для решения задач выпуклого программирования. Журналвычислительнойматематикииматематическойфизики. Ленинград, 1967. Т. 7, №3, с. 620-631.

И.В.Романовский, Н.Б. Ампилова, Е.И.Петренко. О максимизации энтропии при линейных ограничениях. Труды Международной научной конференции "Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения)" - СПб: Математико-механический факультет СПбГУ, 20-22 мая 2008, с.181-185.

Осипенко Г.С. К вопросу об аппроксимации инвариантных мер динамических систем. Электронный журнал "Дифф. уравнения и процессы управления", 2, 2008, c. 58-79.

Ампилова, Н. Б. Стационарные процессы на графах и анализ изображений. Компьютерные инструменты в образовании. СПб, 2013, №2, с. 24-29.

Батюков, А. М. Анализ цифровых изображений, основанный на построении стационарного потока на графе. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладнаяматематика, информатика, процессыуправления, СПб, 2015, №2, с. 115-122.

Ampilova, N. B., Sergeev, V. D. Soloviev , I. P. On the method of digital image analysis based on the construction of a stationary flow on graph . Humanities and Science University Journal 22 (2016), p.29-36, http://submit.uni-journal.ru/article/11818

Сергеев, В. Д. Об оптимизации алгоритма построения стационарного потока на ориентированном графе. Компьютерныеинструментывобразовании, 2017, №2, стр.16-24.

Hewings G. J. D. Regional industrial analysis and development / Geoffrey J. D. Hewings. - London: Methuen & Co, 1977. - [5], 180 с.

Social and demographic accounting / Ed. by Geoffrey J.D. Hewings a. Moss Madden. – Cambridge etc.: Cambridge univ. press, 1995. – IX, 242 c.

Sonis M., Azzoni C. R., Hewings G. J. D. The Three-sector Growth Hypothesis and the Euler-Malthus Economic growth model: Application to the analysis of GDP dynamics of Brazil, 1985–2004–2020 // The Fifth International Conference on Mathematical Modeling and Computer Simulation of Materials Technologies. — 2008. — P. 153–163.

Sonis M. Discrete Non-Linear Probabilistic Chains (M. Drachlin and E. Litsyneds) // Functional-Differential Equations, Ariel, Israel, 2003, 10:445-487.

Sonis M., Hewings G. Regional Competition and Complementarity: Comparative Advantages/Disadvantages and Increasing/Diminishing Returns in Discrete Relative Spatial Dynamics // Regional Competition Advances in Spatial Science / P. Batey, P. Friedrich. — Berlin: SpringerVerlag, 2001. — P. 139–157.

Trade, networks and hierarchies: Modeling regional a. interregional economies / Geoffrey J.D. Hewings et al. (Ed.). - Berlin etc.: Springer, cop. 2002. - XI, 467 с.

Understanding and interpreting economic structure / Geoffrey J.D. Hewings et al. (ed.). - Berlinetc.: Springer, cop. 1999.- X, 370 c.

Афанасьева Е.В. Моделирование процессов потребления экономических ресурсов с помощью вероятностных цепочек (на примере стран Западной Европы)//Научно-технические ведомости СПбГПУ: Информатика. Телекоммуникации. Управление. – СПб.: Политехн. ун-та, 2011. - № 3. – С. 93–97.

Афанасьева Е.В. Моделирование процессов распределения ресурсов с помощью вероятностных цепочек // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2011. – № 3.

Логинова, Н. В. Вероятностные цепочки с полиномиальным ростом как модель распределения ресурсов. Компьютерные инструменты в образовании,2020 (3), 56-69.

Логинова Н.В. Об одном методе моделирования динамики социально-экономических процессов. Компьютерные инструменты в образовании, [S.l.], n. 2, p. 14-24, apr. 2018.

Логинова Н.В. О вероятностных цепочках с полиномиальным ростом. Дифференциальные уравнения и процессы управления, N. 3, 2022, 73-89.

Меклер А. А. Программный комплекс для анализа электроэнцефалограмм методами теории динамического хаоса.Автореферат дисс. к.т.н, СПб, 2006.

О. Ю. Майоров, В. Н. Фенченко. Вычисление корреляционной размерности и энтропии ЭЭГ сигналов на кластерных вычислительных системах, Клин. информат. и Телемед. 2014. T.10. Вып.11. c.10–20.

А.А. Меклер. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ.Вестник новых медицинских технологий , 2007, т. Хiv, № 1, с. 73-77.

Д.А. Николаева. Применение метода оценки корреляционной размерности для анализа ЭЭГ человека с заболеванием эпилепсия. Дифференциальные уравнения и процессы управления,№ 2,2009, 43-51

М.И. Шпитонков. Вычисление корреляционной размерности для физиологических временных рядов,Труды ИСА РАН. Том 70. 2/2020,с.75-79.

N. Ampilova, Nonlinear dynamics method in the application to the study of time series JAE 2022 JAE-Journal of Applied Electromagnetism (ntua.gr),24(2),9-18.

Чумак О.В. Энтропии и фракталы в анализе данных. –– URL:https://www.researchgate.net/publication/235247584 (online;accessed: 2022-04-05).

Яновский Л.П. Филатов Д.А. Анализ состояния финансовыхрынков на основе методов нелинейной динамики, Экономическийанализ, 2005, 17(50)с. 5-15.

HariniKolamunna, ThiliniDahanayaka, Junye Li, SurangaSeneviratne, KanchanaThilakaratne, Albert Y. Zomaya, and ArunaSeneviratne. 2021. DronePrint: Acoustic Signatures for Open-set Drone Detection and Identification with Online Data. Proc. ACM Interact. Mob. Wearable Ubiquitous Technol. 5, 1, Article 20 (March 2021), 31 pages. https://doi.org/10.1145/3448115

A. Kadomskii. On the application of the Grassberger-Procaccia algorithm to classification of quadcopter sounds,Proc. 17 Int. Conf. CEMA23, 3 Nov. 2023, Athens, Greece, p. 21-26, ISSN: 1314-2100, CEMA_2023_proc.pdf (tu-sofia.bg)

Н.Ампилова, А.Кадомский, Методы нелинейной динамики в анализе сигналов, Сборник материалов Всероссийской конференции по естественным и гуманитарным наукам с международным участием, 21 ноября 2023 года. СПб., 2023. — 1318 с. http://hdl.handle.net/11701/44295, с.93-95конф. Наука СПбГУ 2023.