Вычисленные множественные значения АГС выявляют периодичность обратных функций
Аннотация
В статье показано, как возможны два выбора при вычислении значения геометрического среднего, и повторение такой процедуры на первых N шагах вычисления арифметико-геометрического среднего может в целом давать 2 в степени N различных значений, когда соответствующие выборы комбинируются. Это происходит не только в простом АГС, при вычислении полного эллиптического интеграла первого рода, но и в аналогичных методах при вычислении полных и неполных эллиптических интегралов первого и второго рода.
Литература
C. F. Gauss, Werke, vol. III, Gottingen, 1866, pp. 361–371 (in German).
G. J. O Jameson, “An approximation to the arithmetic-geometric mean,” Math. Gaz., vol. 98 (541), pp. 85–95, 2014; doi: 10.1017/S002555720000070X
J. B. Carlson, “Some series and bounds for incomplete elliptic integrals,” J. Math. and Phys., vol. 40, no. 1–4, pp. 125–134, 1961; doi: 10.1002/sapm1961401125
F. Lamarche and C. Leroy, “Evaluation of the volume of intersection of a sphere with a cylinder by elliptic integrals,” Computer Physics Communications, vol. 59, no. 2, pp. 359–369, 1990; doi: 10.1016/0010-4655(90)90184-3
S. Adlaj, “An analytic unifying formula of oscillatory and rotary motion of a simple pendulum,” in Proc. of Int. Conf. Geometry, Integrability, Mechanics and Quantization, Varna, Bulgaria, 2014, June 6–11, Sofia, Bulgaria: Avangard Prima, 2015, pp. 160–171.
H. Fettis, “On the local modulus relation for elliptic integrals,” SIAM J. Math. Anal., vol. 1, no. 4, pp. 524–526, 1970; doi: 10.1137/0501045
M. Gardner, “Mathematical Games — The Fantastic Combinations of John Conway’s New Solitaire Game ’Life’,” Scientific American, vol. 223, pp. 120–123, 1970.
E. Weisstein, “Function website EllipticF,” in wolfram.com, retrieved May 2021. [Online]. Available: https://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticF/04/05/01/03/02/0002/
E. Weisstein, “Function website EllipticE,” in wolfram.com, retrieved May 2021. [Online]. Available: https://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/04/05/01/03/02/0002/
S. Adlaj, “An eloquent formula for the perimeter of an Ellipse,” Notices of the AMS, vol. 59, no. 8, pp. 1094–1099, 2012; doi: 10.1090/NOTI879
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Материал публикуется под лицензией:
