Вычисление размерностей компонент тропических предмногообразий, описываемых линейными тропическими рекуррентными соотношениями

Фарид Михайлов

doi:10.32603/2071-2340-2023-1-40-54

Фарид Михайлов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), ул. Профессора Попова, 5, корп. 3, 197022, Санкт-Петербург, Россия

DOI: https://doi.org/10.32603/2071-2340-2023-1-40-54

Ключевые слова: тропическое полукольцо, тропикализация, тропическое предмногообразие, тропическая рекуррентная последовательность, тропическая энтропия, пакет gfan

Аннотация

Основной задачей статьи является исследование тропических рекуррентных последовательностей, определенных различными соотношениями. Тропическая математика является сравнительно молодой областью современной математики и имеет разнообразные приложения в алгебре, геометрии, computer science, биологии, экономике и инженерных науках. В то же время многие актуальные вопросы тропической математики являются недостаточно исследованными. Для множества тропических последовательностей, описываемых линейными тропическими рекуррентными соотношениями, Д.Ю. Григорьевым была высказана гипотеза о стабилизации максимальных размерностей компонент соответствующих тропических предмногообразий. Эта гипотеза пока не доказана. В рамках этой работы для линейных рекуррентных тропических соотношений были исследованы соответствующие тропические предмногообразия с помощью пакета Gfan с целью проверки гипотезы Григорьева. Выполнение такой гипотезы позволяло бы вычислять размерности такой компоненты для рекуррентных последовательностей произвольной длины.

Биография автора

Фарид Михайлов, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), ул. Профессора Попова, 5, корп. 3, 197022, Санкт-Петербург, Россия

аспирант, ассистент кафедры алгоритмической математики СПбГЭТУ «ЛЭТИ», mifa_98@mail.ru

Литература

B. Sturmfels, Algebraic statistics for Computational Biology, Cambridge, England: Cambridge University Press, 2005.

E. A. Baldwin and P. D. Klemperer, Tropical Geometry to Analyse Damand, London: Grantham Research Institute, 2014.

L. Zhang, G. Naitzat, and L. Lim, “Tropical Geometry of Deep Neural Networks,” in Proc. of the 35th International Conference on Machine Learnin, vol. 80, pp. 5824–5832, 2018.

A. N. Jensen, Algorithmic Aspects of Grobner Fans and Tropical Varieties, [PhD Theses], Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Denmark, 2007.

D. Grigoriev, “On a tropical dual Nullstellensatz,” Advances in Applied Mathematics, vol. 48, pp. 457–464, 2012.

D. Grigoriev and V. Podolsii, “Tropical effective primary and dual Nullstellensaetze,” Disct. Comput. Geom., vol. 30, pp. 1–51, 2018.

D. Maclagan and B. Sturmfels, Introduction to Tropical Geometry, Providence, USA: American Mathematical Society, 2015.

D. Grigoriev, “Tropical recurrent sequences,” Advances in Applied Mathematics, vol. 116, p. 102012, 2020; doi:10.1016/j.aam.2020.102012

N. Elizarov and D. Grigoriev, “A tropical version of Hilbert polynomial (in dimension one),” in in arXiv, [Online], arXiv:2111.14742, 2022.

A. N. Jensen, Gfan version 0.6: A User’s Manual, Department of Mathematical Science, University of Aarhus, Denmark, 2017.