О круговых сечениях поверхности второго порядка
Аннотация
Дан краткий обзор истории конических сечений. Рассмотрены круговые сечения эллипсоидов и гиперболоидов плоскостями, проходящими через центр поверхности. В общем случае существуют две такие секущие плоскости. Обобщая возникшее в механике твёрдого тела понятие, проходящую через центр эллипсоида прямую назовём осью Галуа, если ортогональная плоскость пересекает этот эллипсоид по окружности. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через промежуточную главную ось трёхосного эллипсоида. Каждое сечение эллипсоида такой плоскостью — это эллипс, одна из осей которого совпадает с промежуточной главной осью эллипсоида. При повороте секущей плоскости вокруг промежуточной главной оси эллипсоида длина другой оси эллипса непрерывно меняется, принимая значения между длинами малой и большой осей эллипсоида. Поэтому некоторое такое сечение — это окружность, диаметром которой служит промежуточная главная ось эллипсоида. У трёхосного эллипсоида таких сечений два. Они переходят друг в друга при зеркальном отражении
относительно плоскости, проходящей через промежуточную и другую главные оси эллипсоида. Обе оси Галуа ортогональны промежуточной главной оси трёхосного эллипсоида, а для отличного от сферы эллипсоида вращения обе оси Галуа совпадают с одной осью и ортогональны другим главным осями эллипсоида. Предложен метод построения осей Галуа по известным главным осям эллипсоида. Это построение служит одним из естественных примеров геометрических задач. Кроме того, ось Галуа
может быть корректно определена не только для эллипсоида (для которого она была введена изначально), но и для некоторых других классов центрально симметричных поверхностей, включая гиперболоиды.
Литература
V. N. Vasil’eva, “Golden section and golden rectangles when building icosahedron, dodecahedron and archimedean solids based on them,” Geometry & Graphics, vol. 7, no. 2, pp. 47–55, 2019 (in Russian); doi: 10.12737/article_5d2c1ceb9f91b1.21353054
D. V. Voloshinov, “Algorithmic complex for solving of problems with quadrics using imaginary geometric images,” Geometry & Graphics, vol. 8, no. 2, pp. 3–32, 2020 (in Russian); doi: 10.12737/2308-4898-2020-3-32
D. Gilbert and S. Kon-Fossen, Naglyadnaya geometriya [Visual geometry], Moscow: Editorial URSS, 2004 (in Russian).
O. G. Epifantsev and N. S. Pletenchuk, Treshchinovatost’ gornykh porod. Osnovy teorii i metody izucheniya [Fracturing of rocks. Fundamentals of theory and methods of study], Novokuznetsk, Russia: SibGIU, 2008 (in Russian).
V. V. Ivanov, “The Analytic Caratheodory conjecture,” Siberian Mathematical Journal, 2002, vol. 43, no. 2, pp. 251–322.
A. P. Yushkevich et al., The history of mathematics from ancient times to the 19th century, A. P. Yushkevich ed., vol. 1, Moscow: Nauka, 1970 (in Russian).
G. I. Malaschonok, “Application of the Mathpartner Service in Education,” Computer tools in education, no. 3, pp. 29–37, 2017 (in Russian).
G. I. Malaschonok, “MathPartner computer algebra,” Programming and Computer Software, vol. 43, no. 2, pp. 112–118, 2017; https://doi.org/10.1134/S0361768817020086
W. P. Odyniec, “About the problems of mathematical training of physists,” Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, vol. 30, no. 30, pp. 113–115, 2019 (in Russian).
V. A. Peklich, Imaginary descriptive geometry. Moscow: Izd-vo ASV, 2007 (in Russian).
V. V. Prasolov and V. M. Tikhomirov, Geometry, Moscow: MCCME, 2007 (in Russian).
B. A. Rosenfeld, Apollonius of Perga, Moscow: MCCME, 2007 (in Russian).
V. Romanova, “Visualization of regular polyhedrons during their formation,” Geometry & graphics, vol. 7, no. 1, pp. 55–67, 2019 (in Russian); doi: 10.12737/article_5c91ffd0916d52.90296375
N. A. Sal’kov, “General Principles for Formation of Ruled Surfaces. Part 1,” Geometry & Graphics, vol. 6, no. 4, pp. 20–31, 2018 (in Russian); doi: 10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078
N. A. Sal’kov, “General Principles for Formation of Ruled Surfaces. Part 2,” Geometry & Graphics, vol. 7, no. 1, pp. 14–27, 2019 (in Russian); doi: 10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839
N. A. Sal’kov, “General Principles for Formation of Ruled Surfaces. Part 3,” Geometry & Graphics, vol. 7, no. 2, pp. 13–27, 2019 (in Russian); doi: 10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713
F. M. Suvorov, Ob izobrazhenii voobrazhaemykh tochek i voobrazhaemykh pryamykh na ploskosti i o postroenii krivykh linii vtoroi stepeni, opredelyaemykh pomoshch’yu voobrazhaemykh tochek i kasatel’nykh, Kazan, Russia: Tipografiya imperatorskogo Universiteta, 1884 (in Russian).
A. L. Kheyfets, “Conics As Sections of Quadrics by Plane (Generalized Dandelin Theorem),” Geometry & Graphics, vol. 5, no. 2, pp. 45–58, 2017 (in Russian); doi: 10.12737/article_5953f32172a8d8.94863595
A. L. Kheyfets and Yu. K. Barskii, “Sravnitel’nyi analiz effektivnosti 2D i 3D algoritmov v zadachakh na peresechenie poverkhnostei” [Comparative analysis of the effectiveness of 2D and 3D algorithms in problems on the intersection of surfaces], Trudy 17-toi mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii Informatsionnye sredstva i tekhnologii. oct. 20–22, Moscow, 2009, vol. 3, Moscow: Izdatel’skii dom MEI, 2009, pp. 148–155 (in Russian).
A. L. Kheyfets and V. Vasileva, “Generalized Dandelin’s Theorem Implementation for Arbitrary Rotation Quadrics in AutoCAD,” Geometry & Graphics, vol. 2, no. 2, pp. 9–14, 2014 (in Russian); doi: 10.12737/5584
N. F. Chetverukhin, Descriptive geometry, Moscow: Vysshaya shkola, 1963 (in Russian).
S. F. Adlaj, “On the second memoir of Evariste Galois ´ ’ last letter,” Computer tools in education, no. 4, pp. 11–26, 2018; doi: 10.32603/2071-2340-4-11-26
S. F. Adlaj, S. A. Berestova, N. E. Misyura, and E. A. Mityushov, “Illustrations of rigid body motion along a separatrix in the case of Euler-Poinsot,” Computer tools in education, no. 2, pp. 5–13, 2018; doi: 10.32603/2071-2340-2018-2-5-13
P. Ageron and H. Hedfi, “Ibrah¯ ¯ım al-Bal¯ıshtar¯ ’s book of arithmetic (ca. 1575): Hybridizing Spanish mathematical treatises with the Arabic scientific tradition,” Historia Mathematica, vol. 52, pp. 26–50, 2020; doi: 10.1016/j.hm.2020.01.002
A. Del Centina and A. Fiocca, “Borelli’s edition of books V–VII of Apollonius’s Conics, and Lemma 12 in Newton’s Principia,” Archive for History of Exact Sciences, vol. 74, pp. 255–279, 2020; do: 10.1007/s00407-019-00244-w
F. Lamarche and C. Leroy, “Evaluation of the volume of intersection of a sphere with a cylinder by elliptic integrals,” Computer Physics Communications, vol. 59, no. 2, pp. 359–369, 1990; doi: 10.1016/0010-4655(90)90184-3
N. J. Mariani and G. D. Mazza, “Martinez O. M., Barreto G.F. Evaluation of radial voidage profiles in packed beds of low-aspect ratios,” The Canadian Journal of Chemical Engineering, vol. 78, no. 6, pp. 1133–1137, 2000; doi: 10.1002/cjce.5450780614
P. M. Neumann, “The editors and editions of the writings of Evariste Galois, ´ ” Historia Mathematica, vol. 39, pp. 211–221, 2012; doi: 10.1016/j.hm.2012.01.003
K. Saito, “Re-examination of the different origins of the arithmetical books of Euclid’s Elements,” Historia Mathematica, vol. 47, pp. 39–53, 2019; doi: 10.1016/j.hm.2019.03.002
M. A. Vaccaro, “Historical origins of the nine-point conic. The contribution of Eugenio Beltrami,” Historia Mathematica, vol. 51, pp. 26–48, 2020; doi: 10.1016/j.hm.2019.12.002
J. Vrˇsek, “Contour curves and isophotes on rational ruled surfaces,” Computer Aided Geometric Design, vol. 65, pp. 1–12, 2018; doi: 10.1016/j.cagd.2018.06.006
Материал публикуется под лицензией:
