Формулы типа Рамануджана для функций Клаузена
DOI:
https://doi.org/10.32603/2071-2340-2025-4-61-67Ключевые слова:
ряды Дирихле, дзета-функция Римана, формулы Рамануджана, функции Клаузена, полилогарифм, ускорение сходимости.Аннотация
В работе проведён обзор значений некоторых специальных функций, представи- мых в виде ряда Дирихле, а также представлено обобщение известной формулы Рамануджана для вычисления значений дзета-функции Римана в нечётных натураль- ных точках на случай функций Клаузена. Представлены модификации полученных формул.
Библиографические ссылки
L. Euler, “De summis serierum reciprocarum,” Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 7, pp. 123–134, 1740 (in Latin).
T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, NY, USA: Springer, 1976, doi: 10.1007/978-1-4757-5579-4.
R. Apéry, “Irrationalité de ζ (2) et ζ (3),” Astérisque, vol. 61, pp. 11–13, 1979.
L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, New York, NY, USA: North Holland, 1981.
B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks. Part II, New York, NY, USA: Springer-Verlag, 1989, doi: 10.1007/978-1-4612-4530-8.
P. Flajolet, X. Gourdon, and P. Dumas, “Mellin transforms and asymp- totics: Harmonic sums,” Theor. Comput. Sci., vol. 144, no. 1-2, pp. 3–58, 1995, doi: 10.1016/0304-3975(95)00002-e.
J. M. Borwein, D. M. Bradley, and R. E. Crandall, “Computational Strategies for the Riemann Zeta Function,” J. Comput. Appl. Math., vol. 121, no. 1–2, pp. 247–296, 2000, doi: 10.1016/s0377-0427(00)00336- 8.
W. Zudilin, “One of the numbers ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) is irra- tional,” Russian Math. Surveys, vol. 56, pp. 774–776, 2001, doi: 10.1070/rm2001v056n04abeh000427.
J. P. Boyd, “Acceleration of algebraically-converging Fourier series when the coefficients have series in powers of 1/n,” J. Comput. Phys., vol. 228, no. 5, pp. 1404–1411, 2009, doi: 10.1016/j.jcp.2008.10.039.
J. Wästlund, “Summing inverse squares by Euclidean geometry,” 2010. [Online]. Available: https://www.math.chalmers.se/~wastlund/ Cosmic.pdf
S. Banerjee and B. Wilkerson, “Rapidly converging formulae for ζ (4k ± 1),” 2018, arXiv:1803.03291.
S. Ghosh, “The Basel Problem,” 2020, arXiv:2010.03953.
M. Weba, “Series representations and asymptotically finite representa- tions for the numbers ζ (2m +1) and β(2m),” J. Math. Anal. Appl., vol. 514, no. 2, p. 126330, 2022, doi: 10.1016/j.jmaa.2022.126330.
Z. Lj. Golubović and G. V. Milovanović, “Quadrature processes for efficient calculation of the Clausen functions,” BIT Numer. Math., vol. 63, Art. no. 10, 2023, doi: 10.1007/s10543-023-00944-4.
S. A. Samulevic, “Convergence acceleration of trigonometric series,” Zap. Nauchn. Sem. POMI, vol. 543, no. 172–190, 2025 (in Russian).
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Stepan Samulevich
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
