Компьютер как новая реальность математики: V. Легкая проблема Варинга - Вавилов, Николай Александрович (Компьютерные инструменты в образовании, 2022)
В этой статье продолжается обсуждение роли компьютера в современных исследованиях по аддитивной теории чисел, в первую очередь по легкой проблеме Варинга. Эта проблема состоит в нахождении для каждого натурального k минимального s =v(k) такого, что все натуральные числа n могут быть представлены как суммы k-х степеней целых чисел n = ± x1k ± ... ± xsk в количестве s штук со знаками. Как оказалось, эта задача намного сложнее исходной проблемы Варинга и теснейшим образом связана с несколькими другими задачами арифметической и диофантовой геометрии. В статье обсуждаются различные аспекты этой классической задачи и нескольких близких проблем — рациональной проблемы Варинга, проблемы Варинга для конечных полей, проблемы Варинга для других числовых колец, проблемы Варинга для многочленов, с особым акцентом на связь с полиномиальными тождествами и роль компьютеров. К настоящему времени решение этих проблем близко не завершено и предоставляет широчайшие возможности для использования этого материала в образовании и самостоятельного эксперимента, в том числе на уровне бытовых компьютеров.